타원의 반사
타원은 실과 연필만 있으면
쉽게 그릴 수 있는 수학의 기본적인 도형이다. 바로
두 초점을 연결하는 일정한 길이의 실과 연필로 한
바퀴를 그리면 쉽게 만들어 지는데 이런 간단한 도형
작도의 원리속에 물리의 비밀이 숨어 있다.
바로
"타원의 한 초점에서 출발한 빛은 반드시 반대편
초점에 동시에 도달한다"는 원리 인데 위의 그림이
잘 설명해주고 있다. 이것은 한초점에서 출발한 빛이
타원의 표면에서 반사될 때 입사각과 반사각이 같게반사되어
반대편 초점으로 동시에 도달한다는 것을 보여준다.
입사각과 반사각이 같은 이유는 아래의 증명으로도
설명이 되지만 간단하게 공을 벽에 던질 때를 보더라도
쉽게 이해가 갈 것이다. 바로 운동량 보존으로도 설명할
수 있는 부분이기 때문이다. 그래도 이해할 수 없다면
실제로 공을 바닥에 던져보면 입사각과 같은 각으로
되튀김을 알 수 있다. 타원의 작도에서도 연필로 실을
당겨서 그릴 때 항상 실을 당기는 방향은 실과 실이
이루는 중간각도가 됨을 알 수 있다.
입사각과 반사각이 같다는 증명은 아래와 같다.
우리는 여기서 타원 위의 한 점 P에 F1과 F2에서 그은 두 선분이 P에서의 접선과 이루는 각이 같다는 것(α=β)을 보임으로써 F1에서 출발한 빛이 F2에 도달한다는 것을 증명하려고 한다.(F1→F2)
위의 그림에서 P,
P'은 타원 위의 서로다른 두 점이고 F1, F2은 두 초점입니다.
타원의 성질에서
PF1+PF2=P'F1+P'F2이므로
PF1-P'F1=P'F2-PF2이고
P'→P일 때,
PF1-P'F1→PH이고 PH=PP'cosα'
P'→P일 때,
P'F2-PF2→PH'이고 PH'=PP'cosβ가 성립한다.
∴
PP'cosα'=PP'cosβ'
∴
cosα'=cosβ'
이 때,
P'→P이면 α'→α, β'→β이므로
∴
cosα=cosβ
∴
α=β
즉 같은 시각에 F1을 출발한 빛은 같은 시각에 F2에 모인다.
이와같이 초점에서 출발한 파동은 모두 반대편 초점으로 수렴되기 때문에 타원에서의 파동은 금방 소멸되어 버리는 경우가 많다. 그리고 위에 가상실험에서 보더라도 모두 수평방향으로 수렴되어 마지막에는 좌우로 왔다갔다만 하는 현상이 나타난다.
